本发明涉及变截面梁设计领域，具体是一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法。
背景技术：
1、多尺度有限元法是一种用于模拟和分析具有多个尺度的材料和结构力学行为的数值计算方法。它的基本思想是首先将整个材料或结构系统划分为不同的尺度，然后在每个尺度上应用有限元法，并通过一定的局部化、均匀化等耦合方法建立各尺度之间的联系。多尺度方法按建模及计算的策略可分为两大类：层级多尺度分析方法和并发多尺度分析方法。多尺度有限元法在许多领域具有重要的应用，比如在工程领域，多尺度有限元法可用于设计和优化结构，提升结构的性能和可靠性，提高产品的质量和寿命。在材料领域，可用于研究预测复合材料和多相材料等复杂材料的力学性能。
2、direct fe2方法是一种并发多尺度有限元方法。direct fe2模型从能量角度出发，将宏观应变场通过周期边界条件施加给介观代表体积单元(representative volumeelement：rve)，实现宏观到介观的尺度转变。然后基于hill-mandel原理，通过对rve进行刚度缩放，使宏观单元内高斯点处的rve总能量等于宏观单元的总能量，从而实现从介观到宏观的尺度转变。最后通过有限元求解同时得到宏、介观尺度的解。该并发多尺度分析方法只需进行一次有限元求解，无需传统fe2法的嵌套迭代求解，提升了计算效率。
3、变截面梁是指梁的横截面形状和尺寸沿着梁的轴向逐渐改变的梁结构。变截面梁在桥梁设计、建筑工程、航空航天等领域有广泛的应用。通过改变梁截面的形状和尺寸，可以根据梁的受力情况实现材料的更优分布，从而最大化材料的利用效率。在工程应用方面，变截面梁可以在满足结构刚度等要求下实现结构的减重，同时还节省了材料。
4、结构的拓扑优化是一种有效的结构布局方法，通过对结构布局进行优化，可实现结构的轻量化设计。目前，拓扑优化已在航空航天、汽车、建筑和医疗等领域有成功的应用。近年来，结构的拓扑优化已被认为是结构设计中最具挑战性和最具经济效益的工作之一。
5、在非均质梁的优化设计中，传统优化方法主要是通过单一尺度的拓扑优化方法进行设计。首先对一个非均质梁进行建模，以悬臂梁为例(如图1所示)，对梁的左端进行固定，并在梁的右端施加一个向下的力f，然后对梁模型进行体积约束(优化时保留的质量或体积，表示为vf)，设立目标函数(如最小化应变能，表示为min c(ρ))，接着进行拓扑优化(变密度法)逐步迭代，最后得到在体积约束控制下的优化后梁模型，优化后的梁呈现桁架式结构(如图2所示)。这种单一尺度的拓扑优化方法需要对梁模型进行充分的离散，为了保障有限元计算的精度，离散的单元数目越多，精度越高，但相应的计算时间和占用内存也越高，这显然不满足快速设计的初衷。而变截面梁因其较易于实现“等强度”原则，在保证结构强度的前提下最大限度地节省材料，提高梁的刚度和承载能力，通过设计合理的变截面形状，从而提高整体结构的性能(如图3所示)。
6、基于以上陈述，为改进非均质梁结构的拓扑优化设计，本发明提出了一种通过多尺度有限元方法(direct fe2法)对局部rve进行拓扑优化的方法，采用对局部rve的拓扑优化可大大减少有限元的单元数量，节约计算时间，并能实现变截面梁的设计，这远远优于传统拓扑优化出的桁架式梁结构。
技术实现思路
1、针对上述存在的问题，本发明提出一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法。
2、为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：
3、术语解释：
4、多尺度有限元：是指一种在结构或材料的不同尺度上分别建立有限元模型的用于模拟材料和结构力学行为的数值计算方法。
5、direct fe2方法：一种并发多尺度有限元方法。direct fe2模型从能量角度出发，将宏观应变场通过周期边界条件施加给介观代表体积单元(rve)。并基于hill-mandel原理对rve进行体积缩放，使宏观单元内高斯点处的rve总能量等于宏观单元的总能量，建立介观结构向宏观结构的尺度转变。最后通过有限元求解对宏、介观结构进行同时求解。这种并发多尺度分析方法只需进行一次有限元求解，无需传统fe2法的嵌套迭代求解，提升了计算效率。
6、拓扑优化：是一种在给定约束下计算材料/结构最佳分布的方法，通过对材料/结构的布局进行优化，可实现结构的轻量化设计。
7、一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，所述方法包括以下步骤：
8、s01、对梁模型进行宏观尺度网格的划分，以此为梁模型的宏观单元；
9、s02、在宏观单元的积分点处建立rve模型，并对rve进行介观尺度网格的划分，以此为梁结构的介观单元；
10、s03、随后建立宏观与介观单元之间的周期边界条件和平衡方程；
11、s04、在介观单元上建立拓扑优化的目标函数和体积约束，以便对梁结构的介观结构进行优化；
12、s05、最后通过多次优化迭代，获得了优化后的梁结构，该结构满足了设计要求和约束条件，具有良好的力学性能和经济性。
13、作为本发明进一步的技术方案，在步骤s01中，所述对梁模型进行宏观尺度网格的划分，以此为梁模型的宏观单元的步骤包括：
14、首先对梁模型进行建模，并采用梁单元对梁模型进行网格划分得到宏观尺度网格，以此为梁模型的宏观单元，在网格划分过程中，需要选择合适的网格尺寸和单元类型，以确保计算结果的准确性和可靠性。通常情况下，梁单元的尺寸越小，计算结果越准确，但同时也会增加计算的复杂度和时间成本。在对梁单元进行网格划分后，需要施加相应的边界条件，包括梁的固定端、自由端和载荷，需要根据实际情况进行设定。对梁单元赋予预设的杨氏模量，具体为与实际材料相比可以忽略的杨氏模量，例如：1×10-9e0，其中e0为材料实际的杨氏模量。
15、作为本发明进一步的技术方案，在步骤s02中，所述在宏观单元的积分点处建立rve模型，并对rve进行介观尺度网格的划分，以此为梁结构的介观单元的步骤包括：
16、在宏观单元的积分点处建立rve模型，以捕捉梁结构的微观特性；对于二维rve建立平面模型，对于三维rve建立相应的立体模型，采用相应的二维或者三维单元对rve进行有限元网格划分，得到介观尺度网格，并赋予rve实际的材料参数，包括杨氏模量、泊松比等，以此为梁结构的介观单元，在网格划分过程中，需要选择合适的网格尺寸和单元类型，以确保计算结果的准确性和可靠性。
17、作为本发明进一步的技术方案，在步骤s03中，周期边界条件如式1所示：
18、式1：
19、
20、其中，和分别表示rve右边节点的位移向量以及相对应的左边节点的位移向量，和分别表示rve上边节点的位移向量以及相对应的下边节点的位移向量，lx和ly分别表示rve沿x方向和y方向的长度，di表示宏观单元的节点位移向量，ni,x和ni,t分别表示宏观单元形函数对x坐标和y坐标的导数；
21、在多尺度分析中，由于无法直接获得宏观单元的本构关系，根据hill-mandel原理可将宏观单元的内部虚功转化为介观单元的内部虚功，这样就建立起了梁的direct fe2多尺度有限元模型；
22、式2：
23、其中，δwint为rve内部虚功，wα和jα分别为高斯积分点α处的权重和雅可比行列式，a为梁的横截面面积，为rve的虚应变，为rve的应力。
24、作为本发明进一步的技术方案，在步骤s03中，建立平衡方程过程中基于hill-mandel原理对rve的刚度进行缩放，缩放的系数根据下式确定：
25、
26、其中w为缩放的系数，wα为rve所在的高斯积分点α的权重，jα为rve所在的高斯积分点α处的雅可比行列式的值,a为梁的横截面面积，vα为高斯积分点α处的rve的体积。可以通过对rve的体积进行缩放实现对rve刚度的缩放。对于二维问题，可以通过放大rve的厚度实现rve刚度的缩放，放大系数为w。对于三维问题，可以对rve沿三个方向进行等比例放大实现rve刚度的缩放，放大系数为
27、作为本发明进一步的技术方案，在步骤s04中，优化前在介观单元上建立拓扑优化的目标函数和体积约束，最大化结构刚度时目标函数为结构的总应变能，体积约束为结构优化后保留的体积占优化前结构总体积的百分比。体积约束的目的是限制梁结构的材料使用量，以满足实际工程中的成本和制造约束，体积约束由设计师根据实际问题在优化前给定。建立目标函数和体积约束后，使用拓扑优化算法，如simp(solid isotropic materialwith penalization)或beso(bi-directional evolutionary structuraloptimization)，对梁结构进行优化；拓扑优化算法可以自动地搜索梁结构的最佳拓扑结构，以满足目标函数和体积约束的要求。通过优化，可以获得梁结构的最佳介观结构，以提高梁结构的刚度、强度和其他性能指标。
28、与现有技术相比，本发明的有益效果是：
29、本发明所提出的通过并发多尺度有限元的拓扑优化方法，从非均质梁的介观尺度出发，建立介观有限元模型，通过周期边界条件和基于hill-mandel原理的刚度缩放实现宏、介观尺度的尺度转变，同时根据目标函数和体积约束进行梁的局部结构优化。本发明改进了传统单一尺度的非均质梁的全有限元拓扑优化方式带来的单元数目多、计算时间长、优化结果单一等问题，该方法具有设计简单、计算时间短，优化结果具有多元性，适用性广等优点。
1.一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
2.根据权利要求1所述的一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，在步骤s01中，所述对梁模型进行宏观尺度网格的划分，以此为梁模型的宏观单元的步骤包括：
3.根据权利要求1所述的一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，在步骤s02中，所述在宏观单元的积分点处建立rve模型，并对rve进行介观尺度网格的划分，以此为梁结构的介观单元的步骤包括：
4.根据权利要求1所述的一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，在步骤s03中，周期边界条件如式1所示：
5.根据权利要求1所述的一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，在步骤s03中，建立平衡方程过程中基于hill-mandel原理对rve的刚度进行缩放，缩放的系数根据下式确定：
6.根据权利要求1所述的一种基于多尺度有限元的变截面梁设计方法，其特征在于，在步骤s04中，优化前在介观单元上建立拓扑优化的目标函数和体积约束，最大化结构刚度时：目标函数为结构的总应变能，体积约束为结构优化后保留的体积占优化前结构总体积的百分比；体积约束的目的是限制梁结构的材料使用量，以满足实际工程中的成本和制造约束，建立目标函数和体积约束后，使用拓扑优化算法对梁结构进行优化。
